QC検定2級 検定・推定

勉強法

教科書の例題などを用いて，次の状態を目指す

• （must）各パターンの帰無仮説と対立仮説，検定統計量をイメージでき，計算できる

QC検定2級 他の記事

QC検定2級に関して、他の学習事項についても下記にまとめている。

単元	難易度
重要語句(実践編)	1
重要語句(手法編)	2
信頼性工学	1
管理図	2
抜取検査	2
検定/推定 回帰分析	3
実験計画法	3

計量値データの検定

検定における2種類の誤り（第一種の誤り$\alpha$，第二種の誤り$\beta$）は重要．
表で表すと次の通りである（行は本当の解，列は検定結果）．

	$H_0$を採択	$H_1$を採択
本当は$H_0$	$1-\alpha$	$\alpha$
本当は$H_1$	$\beta$	$1-\beta$

• 第一種の誤り$\alpha$：帰無仮説$H_0$が成り立っているときに、棄却する誤り
• 第二種の誤り$\beta$：対立仮説$H_1$が成り立っているときに、$H_0$を採択する（$H_1$を棄却する）誤り
• 検出力$=1-\beta$：対立仮説$H_1$が成り立っているときに、$H_1$を採択する確率．
  • 検定は$H_0$を棄却して$H_1$であることを言いたいので，本当は$H_1$のときにどの程度の確率で$H_1$を検出できるかという意味で，検出力と呼ばれる

1つの母平均に関する検定・推定（母分散が既知）

母分散が既知なので、標本平均は正規分布に従う．

• 帰無仮説$H_0$：$\mu = \mu_0$
• 対立仮説は両側検定と片側検定のときがある
  • 両側検定：$H_1$：$\mu \neq \mu_0$
  • 片側検定：$H_1$：$\mu < \mu_0$または$\mu > \mu_0$
• 検定統計量：$u_0 = \frac{\bar{x} – \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
• 区間推定範囲：$\bar{x} \pm u \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

1つの母平均に関する検定・推定（母分散が未知）

母分散が既知なので、標本平均は自由度n-1のt分布に従う．

• 帰無仮説$H_0$：$\mu = \mu_0$
• 対立仮説
  • 両側検定：$H_1$：$\mu \neq \mu_0$
  • 片側検定：$H_1$：$\mu < \mu_0$または$\mu > \mu_0$
• 検定統計量：$t_0 = \frac{\bar{x} – \mu_0}{\sqrt{V/n}}$
• 区間推定範囲：$\bar{x} \pm t(\phi, \alpha) \sqrt{\frac{V}{n}}, (\phi = n-1)$

1つの母分散に関する検定・推定

統計量$\chi_0$が自由度$n-1$の$\chi^2$分布に従うため，これを利用して検定および推定を行う．

• 帰無仮説$H_0$：$\sigma^2 = \sigma_0^2$
• 対立仮説
  • 両側検定：$H_1$：$\sigma^2 \neq \sigma_0^2$
  • 片側検定：$H_1$：$\sigma^2 < \sigma_0^2$または$\sigma^2 > \sigma_0^2$
• 検定統計量：$\chi_0 = \frac{S}{\sigma^2}$
• 区間推定：$\frac{S}{\chi(n-1, \alpha/2)} \leq \sigma^2 \leq \frac{S}{\chi(n-1, 1-\alpha/2)}$

2つの母分散に関する検定・推定（等分散性の検定）

統計量$F_0$が自由度($n_A-1, n_B-1$)のF分布に従うことを利用して，検定および推定を行う．

• 帰無仮説$H_0$：$\sigma_A^2 = \sigma_B^2$
• 対立仮説$H_1$：$\sigma_A^2 \neq \sigma_B^2$
• 検定統計量：$F_0 = \frac{V_A}{V_B}$
  • 導出：$F_0 = \frac{V_A/{\sigma_A}^2}{V_B/{\sigma_B}^2}$に、「帰無仮説$H_0$：$\sigma_A^2 = \sigma_B^2$」を代入
• 区間推定：$\frac{V_A}{V_B} \frac{1}{F(n_A-1, n_B-1;\alpha/2)} \leq \frac{{\sigma_A}^2}{{\sigma_B}^2} \leq \frac{V_A}{V_B} {F(n_B-1, n_A-1;\alpha/2)}$
  • 導出：$F(n_A-1, n_B-1;1-\alpha/2) \leq \frac{V_A/{\sigma_A}^2}{V_B/{\sigma_B}^2} \leq {F(n_A-1, n_B-1;\alpha/2)}$を整理する
  • 途中の変形で、F値の上側確率(pが0.5より大きい)と下側確率の関係を用いる
    $F(n_A-1, n_B-1;1-\alpha/2) = \frac{1}{F(n_B-1, n_A-1;\alpha/2)}$

2つの母平均の差に関する検定・推定（母分散が既知）

母分散が既知なので、標本平均の差も正規分布に従う．

• 帰無仮説$H_0$：$\mu_A = \mu_B$
• 対立仮説
  • 両側検定：$H_1$：$\mu_A \neq \mu_B$
  • 片側検定：$H_1$：$\mu_A < \mu_B$または$\mu_A > \mu_B$
• 検定統計量
  • $u_0 = \frac{\bar{x_A} – \bar{x_B}}{\sqrt{\frac{{\sigma_A}^2}{n_A} +\frac{{\sigma_B}^2}{n_B}}}$
• 区間推定範囲：$\bar{x_A} – \bar{x_B} \pm u \sqrt{\frac{{\sigma_A}^2}{n_A} +\frac{{\sigma_B}^2}{n_B}}$

母平均の差に関する検定・推定（母分散が未知、$\sigma_A = \sigma_B$）

母分散が未知なので、標本平均は自由度n-1のt分布に従う．

• 帰無仮説$H_0$：$\mu_A = \mu_B$
• 対立仮説
  • 両側検定：$H_1$：$\mu_A \neq \mu_B$
  • 片側検定：$H_1$：$\mu_A < \mu_B$または$\mu_A > \mu_B$
• 検定統計量
  • $t_0 = \frac{\bar{x_A} – \bar{x_B}}{\sqrt{\left( \frac{1}{n_A} +\frac{1}{n_B} \right) V}}$
  • $V = \frac{S_A + S_B}{n_A + n_B – 2}$
• 区間推定範囲：$\bar{x_A} – \bar{x_B} \pm t(n_A + n_B – 2, \alpha) \sqrt{\left( \frac{1}{n_A} +\frac{1}{n_B} \right) V}$

母平均の差に関する検定・推定（母標準偏差$\sigma_A, \sigma_B$が未知で異なる）

母分散が未知の場合には，等価自由度$\phi^*$が複雑（整数にならない可能性がある）のため，出題される可能性は低いと思われる．ウェルチの検定と呼ばれる．

• 帰無仮説$H_0$：$\mu_A = \mu_B$
• 対立仮説
  • 両側検定：$H_1$：$\mu_A \neq \mu_B$
  • 片側検定：$H_1$：$\mu_A < \mu_B$または$\mu_A > \mu_B$
• 検定統計量
  • $t_0 = \frac{\bar{x_A} – \bar{x_B}}{\sqrt{\left( \frac{V_A}{n_A} +\frac{V_B}{n_B} \right) V}}$
• 区間推定範囲：$\bar{x_A} – \bar{x_B} \pm t(\phi^*, \alpha) \sqrt{\left( \frac{V}{n_A} +\frac{V}{n_B} \right) }$

データに対応があるときの母平均の差の検定・推定

データに対応があるときは、一つの分布として扱い、データが1群しかないときと同様に検定・推定する．
※$\mu_A, \mu_B$はデータA, Bの母平均，$d$はデータAとデータBの差である

• 帰無仮説$H_0$：$\delta = 0 (\delta = \mu_A – \mu_B)$
• 対立仮説$H_1$：$\delta \neq 0$
• 検定統計量：$t_0 = \frac{\bar{d}}{\sqrt{V_d/n}}$
• 区間推定：$\bar{d} – t(\phi, \alpha) \sqrt{\frac{V_d}{n}} \leq \mu_A – \mu_B \leq \bar{d} – t(\phi, \alpha) \sqrt{\frac{V_d}{n}}$
  • $\phi = n-1$

計数値データの検定

母不適合品率$P$に関する検定・推定

サンプル中の不適合品の数は二項分布に従い，実用上は数がおおければ，正規分布に近似して検定を行う．

• 帰無仮説$H_0$：$P = P_0$
• 対立仮説
  • 両側検定：$H_1$：$P \neq P_0$
  • 片側検定：$H_1$：$P < P_0$または$P > P_0$
• 検定統計量： $u_0 = \frac{p – p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$
  • 2項分布の正規分布への近似条件：$n$がある程度大きく$np \geq 5$かつ$n(1-p) \geq 5$
  • 上記の統計量の定義は2項分布が正規分布に近似できる場合を前提としているため，近似条件が成り立たないとき，本検定は適用できない
• 区間推定：$p \pm u\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

2つの母不適合品率の違いに関する検定・推定

2つの母集団の不適合品率を比較する検定．
QC的には「ラインAとラインBで製造した製品に不適合品率の違いがあるか」などの原因特定するために用いられる．

• 帰無仮説$H_0$：$P_A = P_B$
• 対立仮説$H_1$：$P_A \neq P_B$
• 検定統計量： $u_0 = \frac{p_A – p_B}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}$
  • 以降導出
  1. 2群の正規分布の和より，$\sigma_p = \sqrt{\frac{p_A(1-p_A)}{n_A} + \frac{p_B(1-p_B)}{n_B}}$
  2. 帰無仮説$p_A = p_B = \bar{p} (= \frac{x_A+x_B}{n_A+n_B})$より
  3. $\sigma_p = \sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}$
• 区間推定：$p_A-p_B \pm u \sqrt{\frac{p_A(1-p_A)}{n_A} + \frac{p_B(1-p_B)}{n_B}}$

母不適合数$P$の検定・推定

不適合数はポアソン分布に従い，不適合数の母平均$m$が$m \geq 5$であれば，正規分布に近似して検定できる．

• 帰無仮説$H_0$：$m = m_0$
• 対立仮説：$H_1$：$m \neq m_0$
• 検定統計量： $u_0 = \frac{\bar{c} – m_0}{\sqrt{m_0/n}}$
• 区間推定：$\bar{c} \pm u \sqrt{\bar{c}/n}$

2つの母不適合数の違いの検定・推定

2つの母集団の不適合数を比較する検定．

• 帰無仮説$H_0$：$m_A = m_B$
• 対立仮説$H_1$：$m_A \neq m_B$
• 検定統計量： $u_0 = \frac{c_A – c_B}{\sqrt{\bar{c}(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}$
  • 帰無仮説のもとで、$c_A = c_B = \bar{c}$とできる
• 区間推定：$c_A-c_B \pm u\sqrt{\frac{\bar{c_A}}{n_A} + \frac{\bar{c_B}}{n_B}}$

分割表による検定・推定（独立性検定）

• 帰無仮説$H_0$：$P_{x_{i1}} =P_{x_{i2}} = \cdots = P_{x_{ij}}$
  • QC観点：改善前と改善後の結果を比較して、「$H_0$：改善前後で効果がない（独立である）」と置くことが多い
• 対立仮説$H_1$：帰無仮説の等号のどれかが等しくない
• 検定統計量： $\chi_0^2 = \sum^m_{i=1} \sum^n_{j=1} \frac{(x_{ij} – E_{ij})^2}{E_{ij}}$
  • $E_{ij}$は期待度数
  • 自由度$(n-1)(m-1)$の$\chi^2$分布に従う

参考文献

• 教科書（日本規格協会）

• 過去問題集（日本規格協会）