MOSFETの原理と特性

MOSFET

この記事ではMOSFETの原理の説明と電流式の導出を行う.

MOSFET

mosfet

MOSFET(metal-oxide-semiconductor field-effect transister)は上に示すような構造である.
MOSFETにはp型n型の2種類があるが,今回はn型MOSFETで説明する.
MOSは金属と半導体の間に酸化膜がある構造を意味し,ゲート(G)の部分がこの構造となっている.

動作原理

ゲートに電圧をかけていないとき,ドレイン(D)とソース(S)の間はダイオードが背中合わせとなった構造となっているのでドレイン・ソース間に電流は流れない.
ゲートに電圧が加わったとき,酸化膜(${\rm SiO_2}$) が容量となってp型半導体の表面に電子が誘起される.
ゲートに加わる電圧がしきい値電圧$V_{\rm TH}$以上のとき,p型半導体は表面付近のみn型に反転しドレイン・ソース間は(${\rm n^+ n n^+}$)となって電流が流れるようになる.
このn型に反転した領域は,反転領域またはチャネルと呼ばれる.

ピンチオフ現象(MOSFETの電流が飽和する理由)

$V_{\rm D} < V_{\rm G} – V_{\rm TH}$ のとき

$V_{\rm D} < V_{\rm G} – V_{\rm TH}$ のときは$0 \leq x \leq L$ のほとんどの領域で反転層が形成されている.
このときは抵抗と同じように振舞うのでI-V特性は線形になり,$V_{\rm D}$の増加とともに電流も増加する.

$V_{\rm D} > V_{\rm G} – V_{\rm TH}$ のとき

$V_{\rm D}$が$V_{\rm G} – V_{\rm TH}$ を超えてくるとドレイン周辺ではゲートとの間に加わる電圧が減少して,反転層が保てなくなり空乏層となる.
この現象はピンチオフ現象と呼ばれる.
この反転層が保てなくなった地点を次の図に示すように点Pと呼ぶことにする.

mosfet

こうなると,$V_{\rm D}$ を上げてもそのほとんどが空乏層にかかるため点Pの電位と位置が大きく変化しなくなる.
後の導出でも使用するが,MOSFETの電流はチャネルにおける$x$方向の電界によってキャリアが加速されて電流が流れるため,点Pの位置と電位が変化しなければ電流値は変化しなくなる,
すなわち飽和するのである.
したがって,MOSFETのI-V特性は次に示すようになる.

mosfet

MOSFETの一般的な電流式の導出

次の図に示すように変数及び定数を定義する.

mosfet

ゲートに正電圧が印加されると絶縁物内に電界が生じて,それによってバルクとなっている半導体の表面に電荷が生じる.
点$x$における単位面積当たりの電荷$Q(x)$は,
$$
Q(x) = C_{\rm ox} \left(V_{\rm G} – V(x) \right) = \frac{\varepsilon_{\rm ox} \varepsilon_{\rm 0}}{d} \left(V_{\rm G} – V(x) \right)
$$
となる.
この誘起された電荷$Q(x)$が$x$方向に生じている電界$dV(x)/dx$によってドレインへと流れていく.
すなわち,この電荷がドリフト電流となって流れるので
$$
\begin{aligned}
I_{\rm D} & = Q(x) \mu \frac{dV(x)}{dx} W \\
& = \frac{\mu \varepsilon_{\rm ox} \varepsilon_0 W}{d} (V_{\rm G} – V(x)) \frac{dV(x)}{dx}
\end{aligned}
$$
ドリフト電流の基本式は$J = Q\mu E$である.
$\mu$ はチャネル内の移動度である.
上式を$0 \sim L$の範囲で$x$で積分すると
$$
\int_0^L I_{\rm D} = \int_0^L \frac{\mu \varepsilon_{\rm ox} \varepsilon_0 W}{d} (V_{\rm G} – V(x)) \frac{dV(x)}{dx} dx
$$
となる.
左辺は任意の$x$で電流が連続なので$I_{\rm D} L$となり,左辺は$x$から$V$への積分に置き換わるので,$V(L) = V_{\rm D}$(ドレイン電圧)を用いて
$$
I_{\rm D} L =\frac{\mu \varepsilon_{\rm ox} \varepsilon_0 W}{d} \int_0^{V_{\rm D}}(V_{\rm G} – V(x)) dV
$$
となる.よって,この式から整理すると
$$
\begin{aligned}
I_{\rm D} &=\frac{\mu \varepsilon_{\rm ox} \varepsilon_0 }{d} \frac{W}{L} \int_0^{V_{\rm D}}(V_{\rm G} – V(x)) dV \\
&=\frac{\mu \varepsilon_{\rm ox} \varepsilon_0 }{d} \frac{W}{L} V_{\rm D} (V_{\rm G} – \frac{1}{2} V_{\rm D})\
\end{aligned}
$$
反転層(チャネル)が形成されるためには$V_{\rm G}$がしきい値電圧$V_{\rm TH}$を超えないといけないので,上の式を$V_{\rm G} \rightarrow V_{\rm G} – V_{\rm TH}$に置き換えて
$$
I_{\rm D} = \frac{\mu \varepsilon_{\rm ox} \varepsilon_0 }{d} \frac{W}{L} V_{\rm D} (V_{\rm G} – V_{\rm TH} – \frac{1}{2} V_{\rm D})
\label{eq:MOScurrent}
$$
と求めることができる.
これがMOSFETで良く知られている電流式である.
この式は$V_{\rm D} < V_{\rm G} – V_{\rm TH}$ のときである線形領域で成り立つ.

ピンチオフ現象と電流飽和

原理の説明で述べた通り,ピンチオフ現象によってMOSFETの電流は飽和する.
飽和するということは傾きが0になるということなので
$$
\frac{\partial I_{\rm D}}{\partial V_{\rm D}} = 0
$$
となるドレイン電圧を求めればよい.
このときのドレイン電圧はピンチオフ電圧と呼ばれ,$V_{\rm DP}$ で表すとする.
上の計算からピンチオフ電圧は
$$
V_{\rm DP} = V_{\rm G} – V_{\rm TH}
$$
と求められる.
ピンチオフ電圧を\eqref{eq:MOScurrent}に代入すると,飽和したときの電流値を求めることができて
$$
I_{\rm D} = \frac{\mu \varepsilon_{\rm ox} \varepsilon_0 }{d} \frac{W}{L} \frac{(V_{\rm G} – V_{\rm TH})^2}{2}
$$
となる.
この式は,二乗則と呼ばれる.

空乏層容量を考慮した場合

空乏層容量$C_{\rm D}$を考慮すると,ゲートに印加した電圧が全て酸化膜にかかるわけではない.
酸化膜容量$C_{\rm OX}$と空乏層容量$C_{\rm D}$の間に
$$
\frac{C_{\rm D}}{C_{\rm OX}} = n-1
$$
が成り立っているとすると,上で示した二乗則の電流式は
$$
I_{\rm D} = \frac{\mu \varepsilon_{\rm ox} \varepsilon_0 }{nd} \frac{W}{L} \frac{(V_{\rm G} – V_{\rm TH})^2}{2}
$$
と表される.
より簡単に表すために$W/L$と$(V_{\rm G}-V_{\rm TH})^2$ を除く文字をまとめて$K’_n$で表す. すなわち,
$$
K’_n = \frac{\mu \varepsilon_{\rm ox} \varepsilon_0 }{2nd}
$$
とすると,ドレイン電流は
$$
I_{\rm D} = K’_n \frac{W}{L} (V_{\rm G} – V_{\rm TH})^2
$$
と表すことができる.

まとめ

MOSFETの電流式は線形領域では,
$$
I_{\rm D} = \frac{\mu \varepsilon_{\rm ox} \varepsilon_0 }{d} \frac{W}{L} V_{\rm D} (V_{\rm G} – V_{\rm TH} – \frac{1}{2} V_{\rm D})
$$
となる,一方,飽和領域では
$$
I_{\rm D} = \frac{\mu \varepsilon_{\rm ox} \varepsilon_0 }{d} \frac{W}{L} \frac{(V_{\rm G} – V_{\rm TH})^2}{2}
$$
となり,二乗則として知られている.

参考文献

[1] 松波弘之 (1999).半導体工学 昭晃堂
[2] Willy, Sansen. Analog Design Essentials. Springer Science & Business Media, 2007, chapter #1

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